Exponentiell Gewichtet Gleitender Durchschnitt Value At Risk

Exploration der exponentiell gewichteten Moving Average Volatilität ist die häufigste Maßnahme für das Risiko, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, lesen Sie unter Verwenden der Volatilität, um zukünftiges Risiko zu messen.) Wir verwendeten Googles tatsächliche Aktienkursdaten, um die tägliche Volatilität basierend auf 30 Tagen der Bestandsdaten zu berechnen. In diesem Artikel werden wir auf einfache Volatilität zu verbessern und diskutieren den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA). Historische Vs. Implied Volatility Erstens, lassen Sie diese Metrik in ein bisschen Perspektive. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit ist Prolog Wir messen Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktive ist. Die implizite Volatilität dagegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Erkenntnisse siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns auf die drei historischen Ansätze (auf der linken Seite) konzentrieren, haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Berechnen die periodische Rendite. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in kontinuierlich zusammengesetzten Ausdrücken ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. H. Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies erzeugt eine Reihe von täglichen Renditen, von u i bis u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Wir haben gezeigt, dass die einfache Varianz im Rahmen einiger akzeptabler Vereinfachungen der Mittelwert der quadratischen Renditen ist: Beachten Sie, dass diese Summe die periodischen Renditen zusammenfasst und dann diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, seine wirklich nur ein Durchschnitt der quadrierten periodischen kehrt zurück. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadrierte Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Also, wenn alpha (a) ein Gewichtungsfaktor (speziell eine 1m) ist, dann eine einfache Varianz sieht etwa so aus: Die EWMA verbessert auf einfache Varianz Die Schwäche dieser Ansatz ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht zu verdienen. Yesterdays (sehr jüngste) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Mittelwerts (EWMA), bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz aufweisen, festgelegt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Die als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als 1 sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle der gleichen Gewichtungen jede quadratische Rendite durch einen Multiplikator wie folgt gewichtet: Beispielsweise neigt die RiskMetrics TM, eine Finanzrisikomanagementgesellschaft, dazu, eine Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall wird die erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadrierte Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von exponentiell in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muß) des vorherigen Gewichtes. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder zu neueren Daten voreingenommen ist. (Weitere Informationen finden Sie im Excel-Arbeitsblatt für die Googles-Volatilität.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten angezeigt. Einfache Volatilität wiegt effektiv jede periodische Rendite von 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglich Aktienkursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1509 0,196). Aber beachten Sie, dass die Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5,64, dann 5,3 und so weiter. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die Summe der ganzen Reihe (in Spalte Q) haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und der EWMA im Googles-Fall? Bedeutend: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (Details siehe Tabelle). Offenbar ließ sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit verringern, so dass eine einfache Varianz künstlich hoch sein könnte. Die heutige Varianz ist eine Funktion der Pior Tage Variance Youll bemerken wir benötigt, um eine lange Reihe von exponentiell sinkenden Gewichte zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht durchführen, aber eine der besten Eigenschaften der EWMA ist, daß die gesamte Reihe zweckmäßigerweise auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursiv bedeutet, daß heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der früheren Tagesvarianz) ist. Sie können diese Formel auch in der Kalkulationstabelle zu finden, und es erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der gestrigen Abweichung (gewichtet durch Lambda) plus der gestern zurückgelegten Rückkehr (gewogen von einem minus Lambda). Beachten Sie, wie wir sind nur das Hinzufügen von zwei Begriffe zusammen: gestern gewichtet Varianz und gestern gewichtet, quadriert zurück. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. wie RiskMetrics 94) deutet auf einen langsameren Abfall in der Reihe hin - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Reihe haben, und sie fallen langsamer ab. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, deuten wir auf einen höheren Abfall hin: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, so dass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikomessung. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Varianz ist alle Renditen bekommen das gleiche Gewicht. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch weit entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch Zuordnen von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße, sondern auch mehr Gewicht auf neuere Renditen. (Um eine Film-Tutorial zu diesem Thema zu sehen, besuchen Sie die Bionic Turtle.) Berechnung von Value at Risk Beispiel Berechnung von Value at Risk Beispiel Diese Value at Risk (VaR) Fallstudie zeigt, wie VaR in Excel mit zwei verschiedenen Methoden (Varianz Kovarianz und Historical Simulation) mit öffentlich zugänglichen Daten. Was Sie benötigen Die Value at Risk-Ressource und Referenzseite. Datensatz für Gold Spotpreise, der von Onlygold für den Zeitraum vom 1. Juni 2011 bis zum 29. Juni 2012 heruntergeladen werden kann. Datensatz für WTI Crude Oil Spotpreise, der von EIA. gov für den Zeitraum 1-Jun-2011 heruntergeladen werden kann Bis 29.06.2012 Value at Risk Beispiel Wir behandeln die Variance Covarianz (VCV) und die Historical Simulation (HS) Methoden zur Berechnung des Value at Risk (VaR). In der nachfolgenden Liste beziehen sich die ersten 6 Punkte auf den VCV-Ansatz, die letzten 3 Punkte auf den Ansatz der historischen Simulation. Innerhalb des VCV-Ansatzes werden zwei getrennte Methoden zur Bestimmung der zugrundeliegenden Volatilität von Renditen als Simple Moving Average (SMA) - Verfahren der exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnittsmethode (EWMA) betrachtet. VaR mit Monte Carlo Simulation ist nicht in diesem Beitrag abgedeckt. Wir zeigen Berechnungen für: SMA tägliche Volatilität SMA täglich VaR J-Tage-Holding SMA VaR Portfolio Beteiligung SMA VaR EWMA tägliche Volatilität J-Tage Haltezeit EWMA VaR Historische Simulation täglich VaR Historische Simulation J-Tage-Holding VaR 10-Tage-Holding historische Simulation VaR Verlustbetrag für 99 Konfidenzniveau Wert bei Risikobeispiel 8211 Kontext Unser Portfolio umfasst die physische Belastung von 100 Unzen Gold und 1000 Barrel WTI Rohöl. Der Preis für Gold (pro Feinunze) ist 1.598,50 und der Preis für WTI (pro Barrel) ist 85,04 am 29-Jun-2012. Daten Preis Zeitreihe Historische Kursdaten für Gold und WTI wurden für den Zeitraum 1-Jun-2011 bis 29-Jun-2012 von onlygold und eia. gov ermittelt. Der in der VaR-Berechnung betrachtete Zeitraum wird als Rückblickperiode bezeichnet. Es ist die Zeit, über die das Risiko ausgewertet werden soll. Abbildung 1 zeigt einen Auszug aus den täglichen Zeitreihendaten: Abbildung 1: Zeitreihendaten für Gold und WTI Die Rückkehrserie Der erste Schritt für alle VaR-Ansätze ist die Bestimmung der Rücklaufserie. Dies wird erreicht, indem der natürliche Logarithmus des Verhältnisses der aufeinanderfolgenden Kurse wie in Abbildung 2 gezeigt wird: Abbildung 2: Retouren-Daten für Gold und WTI Zum Beispiel wird die tägliche Rendite für Gold am 2. Juni 2011 (Zelle G17) berechnet Als LN (Cell C17 Cell C16) ln (1539,501533,75) 0,37. Varianz-Kovarianz Simple Moving Average (SMA) Die nächste SMA-Tagesvolatilität wird berechnet. Die Formel lautet wie folgt: Rt ist die Rücklaufrate zum Zeitpunkt t. E (R) ist der Mittelwert der Rückkehrverteilung, die in EXCEL erhalten werden kann, indem man den Durchschnitt der Rückkehrreihe, d. H. AVERAGE (Array der Rückkehrreihenfolge), annimmt. Summe der quadrierten Differenzen von Rt über E (R) über alle Datenpunkte und dividieren Sie das Ergebnis durch die Anzahl der Renditen in der Reihe kleiner eins, um die Varianz zu erhalten. Die Quadratwurzel des Ergebnisses ist die Standardabweichung oder SMA-Volatilität der Rückführungsreihe. Alternativ kann die Volatilität direkt in EXCEL unter Verwendung der STDEV-Funktion berechnet werden, die an die Rückkehrserie angelegt wird, wie in Figur 3 gezeigt: Figur 3: Rücklaufseriendaten für Gold und WTI Die tägliche SMA-Volatilität für Gold in Zelle F18 wird als STDEV berechnet (Reihe von Gold-Return-Serie). Die tägliche SMA-Volatilität für Gold beträgt 1.4377 und für WTI 1.9856. SMA daily VaR Wie viel stehen Sie zu verlieren, über eine gegebene Haltedauer und mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit VaR misst die Worst-Case-Verlust wahrscheinlich auf ein Portfolio über einen Haltedauer mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit oder Konfidenzniveau gebucht werden. Beispielsweise bedeutet ein VaR von USD 1 Million oer einer zehntägigen Haltedauer unter der Annahme eines 99 Konfidenzniveaus, dass es nur eine 1-prozentige Chance gibt, dass Verluste in den nächsten zehn Tagen USD 1 übersteigen. Die SMA - und EWMA-Ansätze für VaR gehen davon aus, dass die täglichen Renditen einer Normalverteilung folgen. Der tägliche VaR, der mit einem gegebenen Konfidenzniveau assoziiert ist, errechnet sich wie folgt: Tägliche VaR-Volatilität oder Standardabweichung des Rückkehr-Serien-Z-Wertes des Kehrwertes der Standard-Normalverteilungsfunktion (CDF), die einem vorgegebenen Konfidenzniveau entspricht. Wir können nun die folgende Frage beantworten: Was ist die tägliche SMA VaR für Gold und WTI bei einem Konfidenzniveau von 99 Dies ist in Abbildung 4 unten dargestellt: Abbildung 4: Täglicher VaR Täglicher VaR für Gold, berechnet in der Zelle F16, ist das Produkt der Tägliche SMA-Volatilität (Zelle F18) und den z-Wert des Inversen des Standard-Normal-CDF für 99. In EXCEL wird die inverse z-Wertung bei dem 99-Konfidenzniveau als NORMSINV (99) 2,326 berechnet. Die tägliche VaR für Gold und WTI bei 99 Konfidenzniveau ergibt sich somit auf 3.3446 bzw. 4.6192. J-day holding SMA VaR Szenario 1 Die oben genannte Definition des VaR berücksichtigt drei Dinge, maximalen Verlust, Wahrscheinlichkeit und Haltezeit. Die Haltedauer ist die Zeit, in der das Vermögensportfolio am Markt liquidiert wird. In Basel II und Basel III ist eine zehntägige Haltedauer eine Standardannahme. Wie halten Sie die Haltedauer in Ihre Berechnungen ein Was ist die Beteiligung SMA VaR für WTI amp Gold für eine Haltedauer 10 Tage bei einem Konfidenzniveau von 99 Haltedauer VaR Täglich VaR SQRT (Haltedauer in Tagen) Wo SQRT (.) Ist EXCELs Wurzelfunktion. Abbildung 5: 10-Tage-Haltezeit VaR 99 Konfidenzniveau Das 10-tägige VaR für Gold bei 99 Konfidenzniveau (Zelle F15) wird durch Multiplikation von Daily VaR (Zelle F17) berechnet ) Mit der Quadratwurzel der Halteperiode (Zelle F16). Das ergibt 10.5767 für Gold und 14.6073 für WTI. J-Tage-Besitz SMA VaR Szenario 2 Was ist die Beteiligung SMA VaR für Gold amp WTI für eine Haltedauer 252 Tage bei einem Konfidenzniveau von 75 Beachten Sie, dass 252 Tage genommen werden, um Handelstage in einem Jahr darzustellen. Die Methode ist die gleiche wie zuvor für die Berechnung der 10-Tage-Besitz SMA VaR bei einem Vertrauensniveau von 99, mit der Ausnahme, dass das Vertrauensniveau und die Haltedauer geändert werden. Daher bestimmen wir zunächst den täglichen VaR bei dem Konfidenzniveau von 75. Es sei daran erinnert, dass der tägliche VaR das Produkt der täglichen SMA-Volatilität der zugrunde liegenden Renditen und der inversen z-Punktzahl ist (hier berechnet für 75, d. h. NORMSINV (75) 0,6745). Der daraus resultierende tägliche VaR wird dann mit der Quadratwurzel von 252 Tagen multipliziert, um zu dem gehaltenen VaR zu gelangen. Abbildung 6: 252 Tage Haltezeit VaR 75 Konfidenzniveau 252 Tage VaR bei 75 für Gold (Zelle F15) ist das Produkt des täglichen VaR, berechnet auf 75 Konfidenzniveau (Zelle F17) und Die Quadratwurzel der Halteperiode (Zelle F16). Es ist 15.3940 für Gold und 21.2603 für WTI. Die tägliche VaR ist wiederum das Produkt der täglichen SMA-Volatilität (Zelle F19) und der mit dem Konfidenzniveau assoziierten inversen z-Score (Zelle F18). Portfolio mit SMA VaR Wir haben bisher nur die Berechnung des VaR für einzelne Vermögenswerte berücksichtigt. Wie erweitern wir die Berechnung auf das Portfolio VaR Wie werden Korrelationen zwischen den Vermögenswerten bei der Portfolio-Ermittlung berücksichtigt? Wir betrachten die folgende Frage: Was ist die 10-tägige Beteiligung SMA VaR für ein Portfolio von Gold und WTI mit einem Konfidenzniveau von 99 Der erste Schritt in dieser Berechnung ist die Bestimmung der Gewichte für Gold und WTI in Bezug auf das Portfolio. Lassen Sie uns die Portfolio-Informationen, die zu Beginn der Fallstudie erwähnt werden, noch einmal besuchen: Das Portfolio umfasst 100 Feinunzen Gold und 1000 Barrel WTI Crude. Der Preis für Gold (pro Feinunze) ist 1.598,50 und der Preis für WTI (pro Barrel) ist 85,04 am 29-Jun-2012. Die Berechnung der Gewichte ist in Abbildung 7 dargestellt: Abbildung 7: Gewichte einzelner Vermögenswerte im Portfolio Die Bewertung der Gewichte erfolgte auf Basis des Marktwertes des Portfolios am 29. Juni 2012. Die Marktwerte der Vermögenswerte werden berechnet, indem die Menge eines bestimmten Vermögenswertes im Portfolio mit seinem Marktpreis am 29. Juni 2012 multipliziert wird. Die Gewichte werden dann als Marktwert des Vermögenswertes dividiert durch den Marktwert des Portfolios berechnet, wobei der Marktwert des Portfolios die Summe der Marktwerte für alle Vermögenswerte des Portfolios ist. Als nächstes wurde eine gewichtete durchschnittliche Rendite für das Portfolio für jeden Datenpunkt (Datum) ermittelt. Dies ist in Abbildung 8 dargestellt: Abbildung 8: Portfolioerträge Die gewichtete durchschnittliche Rendite des Portfolios für ein bestimmtes Datum wird als Summe aller Vermögenswerte des Produkts der Vermögenswerte für dieses Datum und der Gewichte berechnet. Zum Beispiel für den 2. Juni 2011 wird die Portfolio-Rendite als (0.3765.27) (0.1134,73) 0,28 berechnet. Dies kann in EXCEL unter Verwendung der SUMPRODUCT-Funktion erfolgen, wie in der Funktionsleiste von 8 oben gezeigt, die für jedes Datum auf die Gewichtezeile (Zelle C19 bis Zelle D19) und Zeilenrückkehrzeilen (Zelle Fxx zu Zelle Gxx) angewendet wird. Um die Gewichtzeile in der Formel konstant zu halten, wenn sie kopiert und über den Bereich von Datenpunkten eingefügt wird, werden Dollarzeichen auf die Gewichtezeilenzellenreferenzen (d. h. C19: D19) angewendet. Zur Berechnung der Volatilität gelten die täglichen VaR und die Haltedauer VaR für das Portfolio mit den gleichen Formeln wie für die einzelnen Vermögenswerte. Das ist die tägliche SMA-Volatilität für das Portfolio STAGEV (Portfolio der Portfolioerträge) SMA täglich VaR für das Portfolio Tägliche Volatilität NORMSINV (X) und Haltedauer VaR für das Portfolio Täglich VaRSQRT (Haltedauer). Wir können nun die Frage beantworten: Was ist die 10-Tage-Besitz SMA VaR für ein Portfolio von Gold und WTI bei einem Konfidenzniveau von 99 Es ist 9.1976. Varianz-Kovarianz-Ansatz 8211 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) Wir werden nun untersuchen, wie der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) VCV VaR berechnet wird. Der Unterschied zwischen den EWMA amp SMA-Methoden zum VCV-Ansatz liegt in der Berechnung der zugrunde liegenden Volatilität der Renditen. Unter SMA wird die Volatilität (wie oben erwähnt) mit folgender Formel ermittelt: Unter EWMA wird die Volatilität der zugrunde liegenden Renditeverteilung () jedoch wie folgt berechnet: Während die SMA-Methode den Renditen in der Serie gleichwertig ist, Die EWMA legt mehr Wert auf die Rendite von neueren Daten und Zeiträumen, da Informationen im Laufe der Zeit tendenziell weniger relevant werden. Dies wird erreicht, indem ein Parameter lambda () angegeben wird, wobei 0lt lt1 ist und exponentiell abfallende Gewichte auf historische Daten gesetzt werden. Das. Wert bestimmt das Gewichtungsalter der Daten in der Formel, so dass je kleiner der Wert von. Desto schneller zerfällt das Gewicht. Wenn das Management erwartet, dass die Volatilität sehr instabil ist, dann wird es eine Menge Gewicht, um die jüngsten Beobachtungen geben, während wenn es erwartet, dass die Volatilität stabil sein, dass es mehr gleiche Gewichte zu älteren Beobachtungen geben würde. Abbildung 9 zeigt, wie die Gewichte, die für die Bestimmung der EWMA-Volatilität verwendet werden, in EXCEL berechnet werden: Abbildung 9: Gewichte für die Berechnung der EWMA-Volatilität In unserer Rückkehrserie gibt es 270 Renditen. Wir haben eine Lambda von 0,94 verwendet, ein Industriestandard. Betrachten wir zuerst die Spalte M in Fig. 9 oben. Die neueste Rendite der Serie (für den 29. Juni 2012) wird t-10 zugewiesen, am 28. Juni 2012 wird t-11 und so weiter zurückgegeben, so dass die erste Rückkehr in unsere Zeitreihe 2-Jun - 2011 hat t-1 269. Das Gewicht ist ein Produkt von zwei Posten 1- Lambda (Säule K) und Lambda erhöht, um die Leistung von t-1 (Spalte L). Zum Beispiel wird das Gewicht am 2-Jun-2011 (Cell N25) Cell K25 Cell L25 sein. Skalierte Gewichte Da die Summe der Gewichte nicht gleich 1 ist, ist es notwendig, sie zu skalieren, damit ihre Summe gleich Eins ist. Dies geschieht durch Dividieren der oben berechneten Gewichte mit 1 n, wobei n die Anzahl der Rückkehr in der Reihe ist. Abbildung 10 zeigt dies: Abbildung 10: Skalierte Gewichte, die bei der Berechnung der EWMA-Volatilität verwendet werden EWMA-Varianz EWMA-Varianz ist einfach die Summe aller Datenpunkte der Multiplikation der quadratischen Renditen und der skalierten Gewichte. Sie können sehen, wie das Produkt der quadratischen Renditen und skalierten Gewichte in der Funktionsleiste von Abbildung 11 unten berechnet wird: Abbildung 11: Gewichtete quadratische Rasterserie für die Bestimmung der EWMA-Varianz Sobald Sie diese Produktreihe von Gewichten erhalten haben, Summieren Sie die gesamte Serie, um die Varianz zu erhalten (siehe Abbildung 12 unten). Wir berechnen diese Abweichung für Gold, WTI amp des Portfolios (unter Verwendung des Marktwertes der zuvor gewählten ergebniswirksamen Erträge): Abbildung 12: EWMA-Variance Täglich EWMA-Volatilität Die tägliche EWMA-Volatilität für Gold, WTI amp wird durch die Platzierung ermittelt Wurzel der oben ermittelten Varianz. Dies wird in der Funktionsleiste von Abbildung 13 unten für Gold gezeigt: Abbildung 13: Tägliche EWMA-Volatilität Täglich EWMA VaR Täglich EWMA VaR Täglicher EWMA-Volatilitäts-Z-Wert der inversen Standard-Normal-CDF. Dies ist das gleiche Verfahren zur Bestimmung der täglichen SMA VaR nach Erhalt der täglichen SMA Volatilität. Abbildung 14 zeigt die Berechnung des täglichen EWMA-VaR im Konfidenzniveau von 99: Abbildung 14: Täglich EWMA VaR J-Day Holding EWMA VaR Halten EWMA VaR Täglich EWMA VaR SQRT (Halteperiode), die das gleiche Verfahren für die Festlegung von SMA VaR ist Erhalten täglich SMA VaR. Dies wird für die 10-tägige Holding EWMA VaR in Abbildung 15 dargestellt: Abbildung 15: Halten von EWMA VaR VaR Historischer Simulationsansatz Geordnete Retouren Im Gegensatz zum VCV-Ansatz für VaR gibt es keine Annahmen über die zugrunde liegende Renditeverteilung im historischen Simulationsansatz. VaR basiert auf der tatsächlichen Renditeverteilung, die wiederum auf dem in den Berechnungen verwendeten Datensatz basiert. Ausgangspunkt für die Berechnung von VaR für uns ist dann die früher abgeleitete Rücklaufserie. Unsere erste Bestellung ist, um die Serie in aufsteigender Reihenfolge, von kleinsten Rückkehr zur größten Rückkehr. Jeder bestellten Rückgabe wird ein Indexwert zugewiesen. Dies ist in Abbildung 16 dargestellt: Abbildung 16: Angeordnete tägliche Retouren Tägliche historische Simulation VaR Es gibt 270 Retouren in der Serie. Bei dem 99-Konfidenzniveau entspricht der tägliche VaR unter dieser Methode der Rückkehr entsprechend der Indexnummer, die wie folgt berechnet wird: (1-Konfidenzniveau) Anzahl der Renditen, bei denen das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl gerundet wird. Diese Ganzzahl stellt die Indexnummer für eine gegebene Rendite dar, wie in Abbildung 17 unten dargestellt: Abbildung 17: Ermittlung der Indexnummer, die dem Konfidenzniveau entspricht Die Rückgabe, die dieser Indexnummer entspricht, ist die tägliche historische Simulation VaR. Abbildung 18: Tägliche Historische Simulation VaR Die Funktion VLOOKUP sucht die Rückkehr zum entsprechenden Indexwert aus dem Auftragsrückgabedatensatz. Beachten Sie, dass die Formel den absoluten Wert des Ergebnisses annimmt. Zum Beispiel entspricht bei der 99-Konfidenzniveau die Integerzahl 2. Für Gold entspricht dies der Rückkehr von -5.5384 oder 5.5384 in absoluten Zahlen, dh es gibt eine Chance, dass der Goldpreis um mehr als 5.5384 über einen Kurs sinkt Haltedauer von 1 Tag. 10-Tage-Betrieb Historische Simulation VaR Wie für den VCV-Ansatz ist die Beteiligung VaR gleich dem täglichen VaR mal der Quadratwurzel der Haltedauer. Für Gold funktioniert dies auf 5.5384SQRT (10) 17.5139. Betrag des schlimmsten Fallverlusts Was ist also der Betrag des schlechtesten Fallverlusts für Gold über eine 10-tägige Halteperiode, die nur 1 Tag in 100 Tagen (dh 99 Konfidenzniveau) überschritten wird, berechnet unter Verwendung des Ansatzes der historischen Simulation Schlimmster Fallverlust für Gold 99 Konfidenzniveau über eine 10-tägige Halteperiode Marktwert des Gold 10-tägigen VaR (1598.50100) 17.5139 USD 27.996. Es besteht die Chance, dass der Goldwert des Portfolios einen Betrag von mehr als USD 27.996 während einer Haltedauer von 10 Tagen verliert. Abbildung 19 fasst das folgende zusammen: Abbildung 19: 10-tägiger VaR-Verlustbetrag bei 99 Konfidenzniveaus Verwandte Beiträge: Value-at-Risk-Schätzung und Backtesting Dieses Beispiel zeigt, wie der Value-at-Risk (VaR) Und wie eine VaR-Backtesting-Analyse durchgeführt wird. Die drei Methoden sind: Normalverteilung Historische Simulation Exponentieller gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) Der Value-at-Risk ist eine statistische Methode, die das mit einem Portfolio verbundene Risiko angibt. Der VaR misst den maximalen Verlustbetrag über einen bestimmten Zeithorizont und bei einem gegebenen Konfidenzniveau. Backtesting misst die Genauigkeit der VaR-Berechnungen. Mit VaR-Methoden wird die Schadenprognose berechnet und mit den tatsächlichen Verlusten am Ende des nächsten Tages verglichen. Der Differenzbetrag zwischen den prognostizierten und den tatsächlichen Verlusten gibt an, ob das VaR-Modell das Risiko unterschätzt oder überschätzt. So sieht das Backtesting retrospektiv auf Daten aus und hilft, das VaR-Modell zu beurteilen. Die drei Schätzmethoden, die in diesem Beispiel verwendet werden, schätzen den VaR bei 95 und 99 Konfidenzniveaus. Laden der Daten und Definieren des Testfensters Laden der Daten. Die in diesem Beispiel verwendeten Daten stammen aus einer Zeitreihe von Renditen auf dem SampP-Index zwischen 1993 und 2003. Definieren Sie das Schätzfenster als 250 Handelstage. Das Testfenster beginnt am ersten Tag im Jahr 1996 und läuft durch das Ende der Probe. Stellen Sie für ein VaR-Konfidenzniveau von 95 und 99 das Komplement des VaR-Niveaus ein. Diese Werte bedeuten, dass es höchstens eine Wahrscheinlichkeit von 5 und 1 gibt, dass der entstandene Verlust größer ist als die maximale Schwelle (dh größer als der VaR). Berechnen des VaR unter Verwendung der Normalverteilungsmethode Für die Normalverteilungsmethode wird davon ausgegangen, dass der Gewinn und Verlust des Portfolios normal verteilt ist. Mit dieser Annahme berechnen Sie die VaR durch Multiplikation der z - score, bei jedem Konfidenzniveau durch die Standardabweichung der Rückkehr. Da das VaR-Backtesting retrospektiv auf Daten zurückblickt, wird das VaR heute auf der Grundlage von Werten der Retouren in den letzten N 250 Tagen berechnet, die zu, aber nicht inklusive, heute führen. Das Normalverteilungsverfahren ist auch als parametrisches VaR bekannt, da seine Schätzung die Berechnung eines Parameters für die Standardabweichung der Rückkehr beinhaltet. Der Vorteil des Normalverteilungsverfahrens ist seine Einfachheit. Allerdings ist die Schwäche des Normalverteilungsverfahrens die Annahme, dass Renditen normalverteilt sind. Ein anderer Name für die Normalverteilungsmethode ist der Varianz-Kovarianz-Ansatz. Berechnen des VaR unter Verwendung der historischen Simulationsmethode Im Gegensatz zur normalen Verteilungsmethode ist die historische Simulation (HS) eine nichtparametrische Methode. Sie geht nicht von einer bestimmten Verteilung der Anlagenrenditen aus. Die historische Simulation schätzt das Risiko unter der Annahme, dass die verbleibenden Gewinne und Verluste als Gewinn - und Verlustausschüttung für die nächste Rendite verwendet werden können. Der VaR wird heute als p th-Quantil der letzten N Rückkehr vor heute berechnet. Die vorstehende Figur zeigt, dass die historische Simulationskurve ein stückweise konstantes Profil aufweist. Der Grund dafür ist, dass sich die Quantilwerte für mehrere Tage nicht ändern, bis Extremereignisse auftreten. Daher ist die historische Simulationsmethode langsam auf Veränderungen der Volatilität zu reagieren. Berechnen Sie den VaR unter Verwendung der exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnittsmethode (EWMA) Die ersten beiden VaR-Methoden gehen davon aus, dass alle vergangenen Renditen das gleiche Gewicht tragen. Das exponentiell gewichtete gleitende Mittel (EWMA) - Verfahren weist Ungleichgewichte, insbesondere exponentiell abnehmende Gewichte, zu. Die jüngsten Renditen haben höhere Gewichte, weil sie auf die heutige Rendite stärker Einfluss als Rückkehr in der Vergangenheit zurückzuführen. Die Formel für die EWMA-Varianz über einem Schätzfenster der Größe ist: Zur Vereinfachung der Varianz nehmen wir ein unendlich großes Schätzfenster an: Ein Wert des in der Praxis häufig verwendeten Zerfallsfaktors ist 0,94. Dies ist der in diesem Beispiel verwendete Wert. Weitere Informationen finden Sie unter Referenzen. Initialisieren Sie die EWMA mit einer Aufwärmphase, um die Standardabweichung einzurichten. Verwenden Sie die EWMA im Testfenster, um den VaR abzuschätzen. In der vorhergehenden Abbildung reagiert das EWMA sehr schnell auf Perioden großer (oder kleiner) Renditen. VaR Backtesting Im ersten Teil dieses Beispiels wurde VaR über das Testfenster mit drei verschiedenen Methoden und mit zwei verschiedenen VaR-Konfidenzniveaus geschätzt. Ziel des VaR Backtesting ist es, die Performance von VaR-Modellen zu bewerten. Eine VaR-Schätzung bei 95 Vertrauen wird nur etwa 5 der Zeit verletzt und VaR-Fehler treten nicht auf. Das Clustering von VaR-Fehlern zeigt den Mangel an Unabhängigkeit über die Zeit hinweg, weil die VaR-Modelle nur langsam auf veränderte Marktbedingungen reagieren. Ein gemeinsamer erster Schritt in der VaR-Backtesting-Analyse besteht darin, die Erträge und die VaR-Schätzungen gemeinsam darzustellen. Zeichnen Sie alle drei Methoden auf dem Konfidenzniveau 95 und vergleichen Sie sie mit den Renditen. Um zu verdeutlichen, wie die unterschiedlichen Ansätze unterschiedlich auf veränderte Marktbedingungen reagieren, können Sie die Zeitreihe vergrößern, in der es eine große und plötzliche Veränderung des Wertes der Renditen gibt. Zum Beispiel um August 1998: Ein VaR-Ausfall oder - Verletzung geschieht, wenn die Renditen einen negativen VaR haben. Ein näherer Blick um den 27. August bis zum 31. August zeigt einen deutlichen Rückgang. An den Tagen ab dem 27. August folgt die EWMA dem Trend der Renditen eng und genauer. Folglich weist die EWMA weniger VaR-Verletzungen (zwei) gegenüber dem normalen Verteilungsansatz (sieben Verletzungen) oder der historischen Simulationsmethode (acht Verletzungen) auf. Neben visuellen Tools können Sie auch statistische Tests für VaR-Backtests durchführen. In der Risk Management Toolbox unterstützt ein varbacktest-Objekt mehrere statistische Tests für die VaR-Backtesting-Analyse. Beginnen Sie in diesem Beispiel mit dem Vergleich der unterschiedlichen Testergebnisse für den Normalverteilungsansatz bei den 95- und 99-VaR-Werten. Der zusammenfassende Bericht zeigt, dass das beobachtete Niveau nahe genug an dem definierten VaR-Niveau liegt. Die 95 und 99 VaR-Werte haben höchstens (1-VaRlevel) x N erwartete Fehler, wobei N die Anzahl der Beobachtungen ist. Das Fehlerverhältnis zeigt, dass der Normal95 VaR-Level innerhalb des Bereichs liegt, während der Normal99 VaR Level ungenau ist und das Risiko unterprognostiziert. Um alle Tests auszuführen, die in varbacktest unterstützt werden. Verwenden Sie runtests. Der 95 VaR führt die Häufigkeitstests wie Ampel, Binomial und Anteil der Fehlertests (TL - und POF-Säulen) durch, wobei der 99 VaR die gleichen Tests nicht bestanden hat, wie die gelben und die zurückgewiesenen Ergebnisse anzeigen (CCI - und TBFI-Spalten) abgelehnt. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die VaR-Verstöße sind nicht unabhängig, und es gibt wahrscheinlich Perioden mit mehreren Ausfällen in einer kurzen Spanne. Ein Ausfall kann es auch machen Wahrscheinlichkeit, dass andere Ausfälle in den folgenden Tagen folgen werden. Für weitere Informationen über die Testmethoden und die Interpretation der Ergebnisse, siehe docid: riskug. bvaa3t4 und die einzelnen Tests. Wenden Sie ein Varbacktest-Objekt, führen Sie die gleichen Tests für das Portfolio für die drei Ansätze bei beiden VaR-Konfidenzniveaus, die Ergebnisse sind ähnlich den vorherigen Ergebnissen, und auf der Ebene von 95 sind die Frequenzergebnisse im allgemeinen akzeptabel. Die Frequenzergebnisse auf der Ebene von 99 sind im allgemeinen Ablehnungen. In Bezug auf die Unabhängigkeit, die meisten Tests übergeben die bedingte Abdeckung Unabhängigkeit Test (docid: riskug. bvabiyt-1), die Tests für die Unabhängigkeit an aufeinander folgenden Tagen. Beachten Sie, dass alle Tests die Zeit zwischen Ausfällen Unabhängigkeit Test (docid: riskug. bvabi29-1), die Berücksichtigung der Zeiten zwischen allen Ausfällen. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass alle Methoden Probleme mit der Unabhängigkeit Annahme haben. Um besser zu verstehen, wie sich diese Ergebnisse unter den gegebenen Marktbedingungen ändern, schauen Sie auf die Jahre 2000 und 2002 für das Konfidenzniveau von 95 VaR. Für das Jahr 2000 führen alle drei Methoden alle Tests durch. Allerdings sind für das Jahr 2002 die Testergebnisse meistens Ablehnungen für alle Methoden. Die EWMA-Methode scheint im Jahr 2002 besser zu funktionieren, doch alle Methoden versagen die Unabhängigkeitstests. Um mehr Einblick in die Unabhängigkeitstests zu erhalten, schauen Sie in die bedingte Deckungsunabhängigkeit (docid: riskug. bvabiyt-1) und die Zeit zwischen den Ausfällenunabhängigkeit (docid: riskug. bvabi29-1) Testdetails für das Jahr 2002. Um auf den Test zuzugreifen Details für alle Tests, führen Sie die einzelnen Test-Funktionen. In dem CCI-Test ist die Wahrscheinlichkeit p 01, daß zum Zeitpunkt t ein Fehler vorliegt. Daß kein Versagen zum Zeitpunkt t & supmin; ¹ vorliegt, durch die Wahrscheinlichkeit p & sub1; & sub1; gegeben, daß zum Zeitpunkt t ein Fehler vorliegt. Dass es zu dem Zeitpunkt t -1 zu einem Ausfall gekommen ist. N10. N01. N11-Spalten in den Prüfergebnissen liegt der Wert von p & sub0; & sub0; bei den drei Verfahren bei etwa 5, doch liegen die Werte von p & sub1; & sub1; über 20. Weil es einen Beweis gibt, daß einem Fehler ein viel häufigerer Fehler als 5 des Fehlers folgt Zeit, dieser CCI-Test fehlschlägt. In der Zeit zwischen Ausfällen Unabhängigkeit testen, Blick auf das Minimum, Maximum und Quartile der Verteilung der Zeiten zwischen Ausfällen, in den Spalten TBFMin. TBFQ1 ist. TBFQ2. TBFQ3. TBFMax. Für ein VaR-Niveau von 95 erwarten Sie eine durchschnittliche Zeit zwischen Ausfällen von 20 Tagen oder einem Fehler alle 20 Tage. Allerdings liegt der Median der Zeit zwischen den Ausfällen für das Jahr 2002 zwischen 5 und 7,5 für die drei Methoden. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die Hälfte der Zeit, zwei aufeinander folgenden Störungen auftreten innerhalb von 5 bis 7 Tage, viel häufiger als die 20 erwarteten Tagen. Folglich treten mehr Testfehler auf. Für die normale Methode ist das erste Quartil 1, was bedeutet, dass 25 der Fehler an aufeinanderfolgenden Tagen auftreten. Referenzen Nieppola, O. Backtesting Value-at-Risk Modelle. Helsinki Schule der Wirtschaftswissenschaften. 2009. Danielsson, J. Finanzielle Risikoprognose: Theorie und Praxis der Prognose Marktrisiko, mit der Umsetzung in R und MATLAB. Wiley Finance, 2012. MATLAB und Simulink sind eingetragene Warenzeichen von The MathWorks, Inc. Bitte lesen Sie mathworkstrademarks für eine Liste anderer Marken, die Eigentum von The MathWorks, Inc. sind. Andere Produkt - oder Markennamen sind Warenzeichen oder eingetragene Warenzeichen der jeweiligen Eigentümer. Wähle dein Land